Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  iii corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  (x1, y1) donde  y1 es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  x= x1  como la aproximación de Euler mejorada. 

Método de Euler

 

 

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

 

Error para el método de Euler

La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.

1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  

Equilibrio y estabilidad

Teoría de la estabilidad

En matemáticas, la teoría de estabilidad estudia la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina como difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones iniciales.

Estabilidad de ecuaciones diferenciales

Debido a que toda ecuación diferencial puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal dado por:

 

MODELOS MATEMATICOS Y METODOS NUMERICOS

Ecuación logística

La ecuación logística es un segundo modelo sobre evolución poblacional que le pone más realidad al modelo de crecimiento exponencial. Como antes definiremos por N( t ) el tamaño de la población bajo estudio, y como antes vamos a suponer que el coeficiente k es la tasa de crecimiento, pero esta vez no será constante, y vamos intentar explicar no solo porqué no será constante sino que también porqué asume el valor que vamos a proponer. En el modelo exponencial teníamos que

(1)

y con esto estábamos diciendo que los nuevos miembros de la población van a ser proporcionales al tamaño de la población con una constante de proporcionalidad k. Pues bien, lo que se propone aquí es lo siguiente: la tasa de crecimiento en condiciones "normales" será constante o aproximadamente constante, pero en esta tasa de crecimiento se debe reflejar el hecho de que si la población aumenta considerablemente ese mismo tamaño va a inhibir el crecimiento o se reducirá los nuevos miembros de la población, es decir esta nueva tasa de crecimiento será de la forma

(2)

donde el factor a indica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el factor b N( t ), con b > 0, indicará el retardo en la tasa a cuando la población N( t ) sea muy grande. Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos

Formando el cociente de Newton y pasando al límite cuando Dt se aproxima a cero, se tiene que

(3)

Esta ecuación se puede arreglar como

(4)

Observemos que el denominador admite la siguiente descomposición

de tal forma que reescribimos la ecuación (4) como

el segundo miembro de esta ecuación es equivalente a las siguientes derivadas

Recordando que derivada de una suma es la suma de las derivadas y por propiedad de logaritmo, nos queda

esto significa entonces que

de modo que

como nuestro objetivo es "descubrir" la función N( t ) estamos a un paso si la despejamos de esta igualdad. En efecto

(5)

Y esta función N( t ) definida según (5) que se conoce con el nombre de ecuación logística.

Veamos como funciona esta ecuación para a = 1, b = 0.001 y N( 0 ) = 106 . Observe la gráfica 1.

Allí se puede ver como la función crece violentamente, luego alcanza un punto de inflexión y a partir de ese punto de inflexión empieza la población a estabilizarse a un punto fijo. Observe la gráfica 2. Allí se puede observar el punto de inflexión y además el límite asintótico de la ecuación logística, esto es

y esto significa que la población se estabiliza en el tamaño poblacional a / b.

Aun queda mucho que estudiar de esta función logística, como por ejemplo, ¿cuáles son las unidades de a y b? ¿qué valores puede tomar a y b para que la población no se extinga?, ¿para qué valores de a y b la población está condenada a la extinción? ¿qué papel juega N ( 0 )? Además se debe especificar claramente en que unidades de tiempo estamos trabajando.

Debe usted comprender cuán importante es el cálculo diferencial en los estudios de dinámica poblacional.

Para finalizar, se puede demostrar mediante unos pocos minutos de álgebra elemental que si hacemos k = a / b entonces

Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.

 

 

Ley del enfriamiento de Newton.

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

 

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T₀.