Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:

 

Con a_ij,b_i,c_i constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes a_ij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, a_ij = 0 para j = i,...,e, los esquemas son explícitos.

Ejemplo: Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t_n y otra en t = t_n + Δt_n. F (u, t) en la primera etapa es:

 

Las constantes propias de este esquema son: b₁ = b₂ = 1 / 2;a₂₁ = 1;c₂ = 1.

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.