Historia Ecuaciones Diferenciales

Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a Finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en si mismo. Ya Newton (los creadores del cálculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton) observó  que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n − 1, en particular, y Depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante.   En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales  son funciones de elementos del triangulo carácter.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica, El estudio de funciones minimizantes llevó al descubrimiento del cálculo de variaciones por Euler a mediados del siglo XVIII y Lagrange a finales del siglo XVIII mejoró y amplió los métodos de Euler. Leibniz descubrió la técnica de separación de variables en 1691: Indicó cómo se resuelve  ydx/dy = f(x)g(y). También redujo en el mismo año la ecuación Homogénea dy/dx = f(y/x) a una separable de primer orden del modo usual: con el cambio y = vx. En 1694, Leibniz, publicó la resolución de la ecuación dy/dx + p(x)y = q(x). En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. Jean Bernouilli señaló que este problema es importante para determinar las trayectorias de los rayos de luz que recorren un medio no uniforme porque dichos rayos cortan ortogonalmente los llamados frentes de luz. El problema fue resuelto de forma general e independiente por Leibniz y por Jean Bernouilli en 1698. El método empleadores el mismo que se usa hoy en día Jean Bernouilli planteó el problema de determinar el movimiento de un proyectil en un medio cuya resistencia es proporcional a una potencia de la velocidad. La ecuación diferencial es en este caso m dv/dt = mg − kvn.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgieron en la historia de las matemáticos con la misma intención que las ecuaciones diferenciales ordinarias: Analizar cuantitativamente determinados sistemas físicos, en particular los astronómicos.  A principios del siglo XIX se desarrolló una fase en la que se trataba de demostrar algunos hechos dados por válidos en el siglo anterior. En 1890 Picard estableció un método de  aproximaciones sucesivas que permite establecer con precisión el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de orden n. Posteriormente, Cauchy, al tratar de demostrar el mismo teorema para los sistemas de ecuaciones diferenciales, introdujo la notación vectorial que todavía se utiliza hoy en día. Generalización que, utilizando los conceptos matriciales introducidos por Cayley a mediados del siglo XIX, ayudó a Jacobi a resolver completamente los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes donde la matriz del sistema es diagonalizable. Posteriormente Jordan introdujo lo que hoy se conoce como la forma canónica de Jordan precisamente para resolver los sistemas lineales de ecuaciones

Donde la matriz no es diagonalizable. Las investigaciones de Poincare sobre la estabilidad y periodicidad de las soluciones del sistema solar le condujeron al inicio de la teoría de las ecuaciones diferenciales no lineales. Obtuvo a finales del siglo XIX una serie de resultados de índole cualitativa que fueron mejorados por Bendixson y por Liapunov.