DIVERSION MATEMATICA

Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos:

y = ax² + bx + c

¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos.

A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola!

. En una fiesta de funciones está bailando “seno de x” con “coseno de x”, “seno de x” se da cuenta de que “e a la x” está sentado solo a un costado de la pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice:
- Ven a bailar, INTEGRATE!!!!
Y él le responde:
- No, ¿para qué?! Si da igual!!

 

 

SISTEMA DE PRIMER ORDEN Y APLICACIONES, EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN.

SISTEMA: es un conjunto de funciones, virtualmente referenciada sobre ejes, bien sean estos reales o abstractos. También suele definirse como un conjunto de elementos dinámicamente relacionados formando una actividad para alcanzar un objetivo operando sobre datos, energía o materia para proveer información.

SALMUERA: La salmuera es agua con una alta concentración de sal disuelta (NaCl). Existen ríos y lagos salados de donde se extrae, principalmente para obtener su sal evaporando el agua en salinas. La salmuera puede ser venenosa para algunos animales.

MOVIMIENTO: es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que experimentan los cuerpos de un sistema con respecto a ellos mismos o a otro cuerpo que se toma como referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria.

EQUILIBRIO: Se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando están equiparadas las fuerzas que actúan sobre él. Concepto estático según el cual un sistema se presenta en equilibrio perfecto con su entorno. Estado de compensación entre fuerzas opuestas.

RESORTE: es un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir de formación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido.

VOLUMEN: es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

RED: Conjunto de equipos y dispositivos periféricos conectados entre sí. Se debe tener en cuenta que la red más pequeña posible está conformada por dos equipos conectados.

INDUCTOR: es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético.

RESISTOR: Se denomina resistor al componente electrónico diseñado para introducir una resistencia eléctrica determinada entre dos puntos de un circuito.

CAPACITOR: Un capacitor está compuesto de dos terminales cuyo propósito primario es introducir capacitancia a un circuito eléctrico. La capacitancia se define como la razón de carga almacenada a la diferencia de voltaje entre dos placas o alambres conductores.

CIRCUITO: es aquello donde corren los coches de formula 1 Los circuitos que contienen solo fuentes, componentes lineales (resistores, capacitores, inductores), y elementos de distribución lineales (líneas de transmisión o cables) pueden analizarse por métodos algebraicos para determinar su comportamiento en corriente directa o en corriente alterna.

VOLTAJE: es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito eléctrico cerrado, provocando el flujo de una corriente eléctrica.

CORRIENTE: es un fenómeno físico cuyo origen son las cargas eléctricas y cuya energía se manifiesta en fenómenos mecánicos, térmicos, luminosos y químicos, entre otros^{[1] [2] [3] [4]} , en otras palabras es el flujo de electrones.

BATERÍA:

TRAYECTORIA: es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.

SISTEMA HOMOGÉNEO: es aquel sistema que está formado por una sola fase, es decir, que tiene igual valor de propiedades intensivas en todos sus puntos o de una mezcla de varias sustancias que da como resultado una sustancia de estructura y composición uniforme.

SISTEMA NO HOMOGÉNEO:

APROXIMACIÓN:

MÉTODOS MATRICIALES: El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan elástica y linealmente.

Coeficientes indeterminados

Analicemos ahora las ecuaciones lineales no homogéneas, es decir, cuando tenemos una ecuación de la forma
	Como vimos en las propiedades algebraicas del conjunto de soluciones de una EDO lineal, podemos ver la parte izquierda de la ecuación como un operador diferencial.
	Lo que andamos buscando es una función que bajo el operador nos lo envíe a la función f(t).
	Una forma de resolverlo es intentar aplicar un operador a ambos lados de la ecuación de tal suerte que se anule el lado derecho. Esto es, nos quedaría una EDO homogénea.
	Veamos la parte izquierda como operador
	Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría
	Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos que
	Podemos inferir dos cosas: La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.
	La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios y combinaciones de ellas.
	Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al operador anulador.
	Veamos mediante ejemplos como encontrar el operador anulador.

Vibración Amortiguada

Definición

Para determinar que es vibración empezaremos por definir que es oscilación.

“Oscilación: Es el movimiento de vaivén de un parámetro físico alrededor de una referencia.

Vibración mecánica: Es la oscilación mecánica de un cuerpo y/o sistema.

En la definición de vibración mecánica se habla de cuerpo y/o sistema ya que si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema vibratorio; por ejemplo, en un sistema masa-resorte la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características restauradoras.

Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo menos un elemento inercial (energía cinética) y un restaurador (energía potencial). Aunque en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elásticos, existen sistemas en las que no existe un elemento elástico y sin embargo pueden vibrar, por ejemplo el penduleo que se manifiesta como elemento restaurador.

Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la vibración, es decir, si el cuerpo vibra por su condición natural debido a una perturbación instantánea y ajeno a toda excitación permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas perturbadoras que hacen vibrar al sistema.

De aquí la importancia de considerar los tipos de perturbaciones que hacen vibrar a un sistema. Estas perturbaciones conocidas como excitaciones pueden clasificarse como: a) Instantánea y b) Permanente.

Una perturbación del tipo instantánea es aquella que aparece como una perturbación y desaparece inmediatamente. Ejemplos de ello: el golpeteo de una placa, el rasgueo de las cuerdas de una guitarra, el impulso y deformación inicial de un sistema masa - resorte, el impulso generado por el impacto. Una excitación de este tipo además puede aparecer a manera de impulso o a manera de desplazamiento inicial; por ejemplo, una persona en un columpio puede iniciar el movimiento si es impulsado desde su posición de equilibrio o bien si es desplazado desde su posición de equilibrio.

Una excitación del tipo permanente siempre esta presente en el movimiento del cuerpo. Ejemplos: el caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.” 3



La Figura muestra un panorama práctico de estos los tipos de excitación en donde un carro pasa primero por un borde y vibra en su forma natural producto de esta excitación instantánea, posteriormente pasa por un conjunto de bordes que lo obligan a vibrar siendo una excitación permanente.

La vibración es una oscilación perceptible y medible en la superficie de la máquina, elementos y/o cimientos.

Las vibraciones mecánicas sólo pueden ocurrir cuando las masas se mueven. Estas masas pueden ser partes rotativas u oscilantes.

Las vibraciones generadas en las máquinas son principalmente rotativas y reciprocantes. Esas vibraciones y esfuerzos son transmitidos por los rodamientos y/o cojinetes antifricción, a las carcaza, y de allí a sus bases y cimentación

Energía producida por medio de un defecto mecánico en la máquina

Vibración no es la causa de el problema, es un síntoma

La vibración es una onda que puede medirse en el dominio de la frecuencia o del tiempo

Al medir en el dominio de la frecuencia se deben tomar en cuenta

1 El tamaño de la muestra
2 La resolución (número de líneas)
3 Frecuencia máxima
4 Filtros, ventanas, traslapes, promediados, aliasing

Diferencias entre el dominio del tiempo y frecuencia

Unidades del movimiento de las vibración

“Las vibraciones mecánicas pueden ser medidas tomando diferentes patrones y criterios y que en su mayoría están establecidos, estas medidas tienen que ver con el movimiento por lo tanto conviene analizar algunos criterios relacionados con el movimiento de oscilación.

Cuando la variación de una cantidad física se repite con las mismas características después de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento periódico, ejemplos de este movimiento pudieran ser la variación de voltaje en generadores de CA, la vibración producida por maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de una partícula puede ser representada por una forma senoidal entonces a este movimiento se le conoce como movimiento armónico,” 4

“Es en esta parte, donde las ondas se vuelven extremadamente complejas, que se necesita hacer uso de otra manera de estudiar la vibración, y la encontramos estudiando el espectro de frecuencias de vibración. El espectro de frecuencias, es básicamente una gráfica que se compone de la siguiente manera: un eje horizontal o dominio, que contiene las unidades de frecuencia de la vibración, y el eje vertical o contradominio, la amplitud de la vibración.” 5

Frecuencia

Todo movimiento periódico ó armónico cumple con las característica de una función periódica, es decir que existe una constante T llamada período tal que la posición en un instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ..... , por lo tanto se puede definir a el período como el valor del tiempo en la cuál se efectua un ciclo completo. El inverso del período se le conoce como la frecuencia de oscilación y representa de una manera las veces que se repite el movimiento en un determinado tiempo

<math>F=Sqr(1/T)</math> Hertz

Amplitud

“El desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración.” 6

En una señal armónica el valor máximo se le conoce como amplitud y si se mide desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo entonces se le conoce como amplitud de pico a pico



Dentro del ambiente laboral, estos parámetros son utilizados para la medida del movimiento de la vibración de una maquina y que son:
a) El desplazamiento de la vibración.
b) La velocidad de la vibración.
c) La aceleración de la vibración.
d) La fase.

El desplazamiento de la vibración generalmente se mide de pico – pico y usualmente se usan las unidades de milésimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. ó micrómetro que es 0.001 m.

La velocidad de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usan las unidades de pulgada por segundo (in/seg) ó milímetros por segundo (mm/seg).

Mientras que en a aceleración de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleración de la gravedad 980.665 cm/s2. La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medición, generalmente se usa el ángulo de separación entre las señales que representan el movimiento de estos puntos.

Estos parámetros se pueden visualizar fácilmente en la Figura 1-4 se puede observar como los parámetros de desplazamiento y velocidad en fase a 90o mientras que entre la velocidad y la aceleración están en fase también a 90º con la velocidad y a 1800 con el desplazamiento. Lo anterior se debe a que si el desplazamiento del movimiento es expresado como y(?) = Ysen(?), entonces la velocidad que es la derivada del desplazamiento quedará expresada como v(?) = Vcos(?) y la aceleración que es la derivada de la velocidad como a(?) = -Asen(?).



Puesto que se puede medir la amplitud de vibración en términos de desplazamiento, velocidad ó aceleración ahora la pregunta es: ¿Qué unidad de amplitud utilizar?, hay varios elementos a considerar para seleccionar cuál parámetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de problema causante de la vibración, tipo de diagnóstico, el equipo utilizado, etc. la experiencia dice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de desplazamiento es recomendable, mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 – 60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el análisis de velocidad, por último para frecuencias arriba de 1000 hz la medida de la amplitud de aceleración es recomendable.

Clasificación de las vibraciones mecánicas

Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de:
a) la excitación,
b) la disipación de energía,
c) la linealidad de los elementos y las características de la señal.

Dependiendo de la excitación
Vibración libre
Vibración forzada

Vibración libre

“Es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.” 7 “La vibración se hará a la frecuencia natural del sistema, y se extinguirá gradualmente, debido a la amortiguación del sistema.” 8 “Así, son ejemplos de vibración libre la vibración de un trampolín tras el salto del nadador, o la vibración resultante en una estructura tras golpearla con un martillo.” 9

Frecuencia Natural

“Las frecuencias a las que vibra un sistema bajo vibración libre son las frecuencias naturales del sistema. Son propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y rigidez.” 10

Para el caso de un sistema con un único grado de libertad u(t), formado por una masa m unida al suelo mediante un resorte de rigidez K, sólo existe una frecuencia natural (?) y se calcula como:

<math>W=Sqr(K/m)</math>

Vibración forzada

“es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.” 11

“Por ejemplo, la vibración del cigüeñal de un motor durante su funcionamiento. Durante el funcionamiento del motor, el cigüeñal está sometido a unos esfuerzos que le transmite la biela y que generan vibraciones sobre él.“ 12

Dependiendo de la disipación de la energía
Amortiguada
No Amortiguada

“El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador.” 13

Vibración Amortiguada

Un ejemplo de este tipo de vibración lo observamos en “los amortiguadores de los carros los cuales se diseñan para absorber vibraciones de la suspensión respecto al bastidor” 14

Dependiendo de la linealita de los elementos Lineal
No lineal

Dependiendo de la señal Deterministica
Probalitistica

Análisis de las vibraciones mecánicas

Resonancia

VIBRACIONES MECANICAS

ISTORIA, ESTUDIO E IMPORTANCIA.
Desde que aparecieron los primeros instrumentos musicales, en especial los de cuerda, la gente ya mostraba un interés por el estudio del fenómeno de las vibraciones, por ejemplo, Galileo encontró la relación existente entre la longitud de cuerda de un pendido y su frecuencia de oscilación, además encontró la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las cuerdas.
Estos estudios y otros posteriores ya indicaban la relación que existe entre el sonido y las vibraciones mecánicas.
Podemos mencionar entre otros, Taylor, Vernoulli, D' Alember, Lagrange, Fourier, etc. La ley de Hooke en 1876 sobre la elasticidad, Coulomb dedujo la teoria y la experimentación de oscilaciones torcionales, Rayleigh con su método de energías, etc. Fueron grandes físicos que estructuraron las bases de las vibraciones como ciencia.
El buen funcionamiento de los amortiguadores de un automóvil. El mal aislamiento de maquinaria que pueda dañar la infraestructura de la misma y zona aledaña, ruido causada por maquinaria. Son ejemplos de algunos ejemplos.Un fenómeno de la cual las maquinas temen es la llamada resonancia, cuyas consecuencias pueden ser serias.
Por otro lado el buen funcionamiento de la maquinaria industrial es un fenómeno que requiere de una constante inspección, es decir, el mantenimiento predictivo; este juega un papel importante en el crecimiento económico de una empresa, ya que predecir una falla es sinónimo de programación de eventos que permite a la empresa decidir el momento adecuado para detener la maquina y darle el mantenimiento.
El análisis de vibración juega un papel importante en el mtto predictivo, este consiste en tomar medida de vibración en diferentes partes de la maquina y analizar su comportamiento.

LAS VIBRACIONES MECANICAS DEFINICIONES, CLASIFICACIONES.

El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica delas vibraciones, es una rama de la mecánica, o mas generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.
Definición (a)
Vibración: es el movimiento de vaiven que ejercen las partículas de un cuerpo debido a una exitación.
Existe una relación entre el estudio de las vibraciones mecánicas del sonido, si un cuerpo sonoro vibra el sonido escuchado esta estrechamente relacionado con la vibración mecánica, por ejemplo una cuerda de guitarra vibra produciendo el tono correspondiente al # de ciclos por segundo de vibración.
Para que un cuerpo o sistema pueda vibrar debe poseer características potenciales y cinéticas. Nótese que se habla de cuerpo y sistema si un cuerpo no tiene la capacidad de vibrar se puede unir a otro y formar un sistema que vibre; por ejemplo, una masa y resorte donde la masa posee características energéticas cinéticas, y el resorte, características energéticas potenciales.
Otro ejemplo de un sistema vibratorio es una masa y una cuerda empotrada de un extremo donde la masa nuevamente forma la parte cinética y el cambio de posición la parte potencial.
Definición 1.2 (b)
Vibración mecánica: es el movimiento de vaiven de las moléculas de u cuerpo o sistema debido a que posee características energéticas cinéticas y potenciales.
En cualquiera que sea el caso, la excitación es el suministro de energía. Como ejemplos de excitación instantánea tenemos el golpeteo de una placa, el rasgueó de las cuerdas de una guitarra el impulso y deformación inicial de un sistema masa resorte, etc.
Como ejemplo de una excitación constante tenemos el intenso caminar de una persona sobre un puente peatonal, un rotor desbalanceado cuyo efecto es vibración por desbalance, el motor de un automóvil, un tramo de retenedores es una excitación constante para el sistema vibratorio de un automóvil, etc.
Vamos a ver varias formas de clasificar el estudio de las vibraciones mecánicas.
Vibración libre: es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea.
Vibración forzada: es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante.
Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libre mente solo y solo si existe condiciones iniciales, ya sea que suministremos la energía por medio de un pulso ( energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.
Esta energía es disipada por el fenómeno llamado amortiguación, en ocasiones es despreciable.
Aun cuando la energía es disipada durante la vibración, en le caso de la vibración forzada esta descompensada por la excitación constante.
Vibración amortiguada: es cuando la vibración de un sistema es disipada.
Vibración no amortiguada: es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.
El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.
Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.
Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal.
El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.

Ecuaciones Lineales de Orden Superior

http://www.slideshare.net/josmal7/ecuaciones-diferenciales-lineales
http://www.slideshare.net/edvinogo/unidad-3-ecuaciones-de-orden-superior

Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:

 

Con a_ij,b_i,c_i constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes a_ij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, a_ij = 0 para j = i,...,e, los esquemas son explícitos.

Ejemplo: Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t_n y otra en t = t_n + Δt_n. F (u, t) en la primera etapa es:

 

Las constantes propias de este esquema son: b₁ = b₂ = 1 / 2;a₂₁ = 1;c₂ = 1.

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.